物理の計算では必須の三角関数！

2021年10月28日 2022年6月19日

　物理の力学ではたびたび三角関数を使って計算するでしょう。坂を下っている球体にかかっている力を求めるときや、斜めに放たれた物体の水平方向の速さを求めるときなど、使う機会はたくさんあります。そんな三角関数を一から解説したいとおもいます。

sin cos tanって？

まずはsin(サイン) cos(コサイン) tan(タンジェント)について説明します。まず、下の図のような直角三角形があったとします。

図の頂点Aの角度をθ(シータ)と置いたとき、高さを斜辺で割った数をθの正弦、sinθと言います。また、底辺を斜辺で割った数をθの余弦、cosθと言います。高さを底辺で割った数をθの正接、tanθと言います。要するにこういうことですね。

sinθ・cosθ・tanθは以下のような関係性を持っています。

また、二番目の公式は両辺をcosθの二乗で割ることで以下のようなcosθとtanθだけの公式が得られます。ここでは表記しませんが、sinθの二乗で割ることでsinθとtanθだけの公式も得られます。

単位円で見る三角関数

単位円は三角関数の値を視覚的に分かりやすくするものです。

上の図のように、xy軸上に描かれた半径1の円があり、その中に頂点Oの角度がθの三角形があります。このときのsinθ・cosθを求めるとき、斜辺は円の半径なので1です。ということは、sinθ・cosθを求めるときの分母は1になり、sinθ・cosθの値は分子の値になります。sinθは辺ABの長さ、cosθは辺OBの長さになります。図で言うと…

青の長さがsinθで、赤がcosθですね。ちなみにtanθの値は下の図のように、x=1の直線に、斜辺の延長線が交わってできた三角形の高さ(緑の線)です。

さて、θが0°〜90°なら三角形も直角を含んでいるので分かりやすいんですが、θが90°〜180°の場合はそうはいきません、円の上に描く三角形の頂点Oはθではなくなってしまうので。ですが、下の図を見たらすぐにわかるはずです。

今度は頂点Oの角度をαと置きましょう。置く文字が変わったとしてもsinθ・cosθの値は高さ・底辺ということには変わりありません、ただ変わったのは値の符号です。このときの三角形の底辺はx座標のマイナス側にありますよね。ということはcosθの符号はマイナスになるということです。tanθを表す緑色の線もy軸のマイナス側にあるので、tanθの符号はマイナスになります。つまりこの時、sinα＝sinθ cosα＝ーcosθ tanα＝ーtanθ になります。

180°以上は物理では基本的に使わないと思いますが、イメージをつけるために画像を用意しました。

180°〜270°のとき　

sinθ→ー　cosθ→ー　tanθ→＋

270°〜360°のとき

sinθ→ー　cosθ→＋　tanθ→ー

三角関数の値域

単位円は三角関数の大体の値がわかるだけではなく、符号がどっちなのかも分かりますが、この単位円を見て、勘のいい人はsinθ、cosθが特定の範囲しか持たないことに気づいたと思います。単位円の中の三角形は半径1の円の中で動いているだけなので、どの辺も1より大きくなることはないですよね。ということは、sinθもcosθも絶対値は1より大きくなることはないということです。(tanθはどんな値も取る可能性があります。)まぁ、こういうことですね。